Approfondimento sulla “Risoluzione Effettiva” di un convertitore

8 09 2007

Iniziamo con l’introdurre la funzione di un Convertitore Digitale/Analogico generico: convertire la sequenza di “0” e di “1” in ingresso, in un segnale analogico in uscita (tensione variabile nel dominio del tempo) tramite “quantizzazione“, un segnale che possa poi essere eventualmente ascoltato dal nostro orecchio. Come fare? In sostanza, all’interno vi è un microprocessore, il quale assegna un numero N in base alla stringa di bit che in quel dato momento gli viene fornita. Questo N viene poi moltiplicato per il “quantoQ, ovvero la minima differenza che il convertitore riesce a genereare (ad es. 1mV). E’ un pò incasinato vero? Spieghiamolo meglio…
Trattare un segnale digitale è possibile attualmente sfruttando la tecnologia del campionamento.
La curva che vedete qui sotto:

ci mostra un suono nel suo evolversi nel tempo. Con un certo intervallo, andiamo a leggere l’ampiezza della nostra onda, da un valore minimo ad uno massimo (dipendenti dal convertitore stesso). L’insieme di questi dati binari, riesce a descrivere in maniera abbastanza efficace il suono, anche se utilizzando passi discreti (punti) rispetto invece al segnale originale, una curva continua.

Passando alla pratica, nella stringa da 4 bit precedente, assegnamo il famoso numero N:

0111: N=0
1000: N=1
1001: N=2
1010: N=3
ecc.ecc.

che verrà poi moltiplicato per il “quanto” di 1mV ottenendo:

V = N \cdot Q

V1 = 0mV
V2 = 1mV
V3 = 2mV
V4 = 3mV
ecc.ecc.

Come è possibile notare, la differenza tra un valore e il suo successivo/precedente non può essere inferiore al valore del quanto, ciò significa che il convertitore NON è in grado di ricostruire la forma d’onda di un dato suono in maniera continua, ma solo a gradini, a passi, si dice, discreti. Lo vediamo bene in questo grafico dove andiamo a comparare i due suoni (prima e dopo la “cura”):

In quest’altra immagine vediamo la differenza tra due convertitori diversi e la loro “risposta”:

Tutto ciò porta a due fondamentali grossi problemi:

1. L’ampiezza del segnale viene catturata solo in determinati momenti, e non possiamo quindi sapere cosa accada tra un “momento” e il suo successivo…

2. L’ampiezza del segnale è esprimibile solo in relazione al numero di bit. Più lunga è la parola binaria (nel caso di 4 bit 16 parole diverse) e più elevato potrebbe essere il range di rilevamento e di calcolo. Ma al di fuori di ciò il convertitore presenta forti limitazioni, proprio perchè l’esiguo numero di parole che “conosce” sono di ben lunga inferiori alle parole “esistenti nel vocabolario”.

La soluzione?

1. Aumentare il numero di rilevamenti, ovvero diminuire il tempo tra una rilevazione e la successiva. Aumentare cioè la frequenza di campionamento. Per il noto teorema del campionamento, tra l’altro, la frequenza minima di campionamento non può essere inferiore al doppio della frequenza massima da campionare. In questo senso, quindi, dato lo spettro di udibilità, il “sampling” avviene 44100 volte al secondo, più del doppio dei 20000 Hz che siamo in grado di rilevare con il nostro orecchio, cosa parecchio rinfrancante, per lo meno.

2. Mandare a scuola il convertitore a studiare un pò di grammatica, di modo che possa conoscere più parole… Per fare questo bisogna quindi aumentare il numero di bit ai quali assegnavamo il famoso numero N che veniva poi moltiplicato per il quanto Q, e non invece diminuire il valore del quanto, o pregiudicheremmo la gamma dinamica, che stiamo tentando, al contrario, di risollevare. Mi spiego meglio, se mantengo parole da 4 bit e ho tra le mani un quanto da 1mV posso solo convertire da -8mV a +8mV (per le 16 possibili parole a disposizione). Se diminuissi il valore del quanto a 0.5mV, tentando di aumentare la precisione della parola, avrei comunque un range da -4mV a +4mV, che è peggio. Se invece passo da 4 bit a 8 bit, e mantengo il quanto ad 1mV, come era originariamente, le parole diventano già 256, e se raggiungo i 16 bit, come il Convertitore Analogico/Digitale in registrazione del CD, otterrò, con le 65536 parole, valori riprodotti da -32768mV a +32768mV. Mica male…

Quello che accade all’interno dell’autoradio è, in piccolo, la stessa identica cosa a ciò che accade in un DAC esterno. Notiamo quindi anche un altro aspetto non ancora trattato: le sole dimensioni, ad esempio, di amplificatori finali e convertitore esterni (rispetto a quelle dell’intera autoradio che implementa entrambi), ci fanno capire come determinati componenti “di serie” vengano ovviamente sotto-dimensionati, cosa che di certo non potrà poi produrre un risultato eccellente. Con questo non voglio dire che un impianto senza amplificatori e convertitore esterni non possa essere buono, ma che di sicuro vi saranno forti lacune, imprecisioni di riproduzione, dispersioni maggiori di calore, diminuzione della qualità ecc. ecc.

Tornando a noi, abbiamo nominato la risoluzione effettiva nella carta d’identità della sorgente ed abbiamo detto che viene espressa in bit, rispetto ad un valore ideale pari a 16 (valore di codifica dello standard CD). Ma come mai è possibile avere una risoluzione di 12,2 bit – 13,5 bit – 15,6 bit così come ci viene detto dalle riviste del settore???
In effetti non è così, nel senso che in una conversione digitale/analogica, in base alla configurazione del dispositivo, il valore non verrà ottenuto di certo utilizzando frazioni di una grandezza indivisibile (il numero di bit, in qualsiasi branca dell’informatica o della fisica in genere, appartiene all’insieme dei numeri naturali N e non di certo a quello dei numeri reali R). Ci si basa, quindi, per determinare la bontà del prodotto, su un artefizio (un’escamotage) reso possibile dal fatto che vi sia una forte relazione tra il rapporto Segnale/Rumore di quantizzazione ed il numero di bit utilizzati nel processo. Ecco la rappresentazione matematica della formula per il calcolo di questo rapporto:

S / R_Q = 20 LOG \cfrac {v_S}{v_R} = 20 LOG \sqrt{\cfrac{3}{2}} \cdot 2^N = 1,76 + 6,02 \cdot N

dove N, questa volta, è il numero di bit (non è lo stesso N di prima, mi raccomando). Poiché i segnali registrati sui CD-test non provengono da un processo di conversione A/D bensì sono generati numericamente, sono quindi contraddistinti da un rapporto segnale/rumore di quantizzazione pari esattamente a 98,08 dB (valore ideale).
Dopo il passaggio attraverso i circuiti di conversione D/A il rapporto Segnale/Rumore del segnale di test non potrà però di certo migliorare e sarà sempre più basso dei fatidici 98,08 dB. E’ ovvio quindi che la risoluzione effettiva sarà sempre minore di 16 bit, qualunque sia la tecnica di conversione utilizzata (monobit, multibit, sovracampionamento, Sigma-Delta e compagnia bella). L’uso di circuiti di conversione D/A con risoluzione superiore allo standard CD (i famosi 24 bit burr-brown delle sorgenti di alta gamma) ha quindi lo scopo di ottenere una risoluzione effettiva più vicino possibile a quella teorica di 16 bit. Nella prova pratica ci si basa sulla misura del rapporto segnale/rumore di quantizzazione (ovvero del rapporto segnale/rumore in presenza di segnale a 0 dBFS) e sulla successiva comparazione di quest’ultimo con quello ideale.
La misura viene effettuata utilizzando come segnale di prova una sinusoide a 0 dB di frequenza molto bassa (20 Hz) così da poter adeguatamente attenuare, con l’ausilio di un distorsiometro sintonizzato su 20 Hz e di un filtro passa-alto a 400 Hz (senza tuttavia ridurre in modo significativo l’energia del rumore di quantizzazione), sia la fondamentale (20 Hz, 0 dB) che le prime armoniche del segnale d’uscita (con segnali ad alto livello i prodotti di distorsione armonica in uscita dal convertitore D/A raggiungono livelli tali da non poter più essere considerati trascurabili rispetto al rumore di quantizzazione, e quindi devono essere in qualche modo essere eliminati), nonché il residuo di alternata e le sue armoniche (che potrebbero inficiare la validità della misura). Sul fronte delle alte frequenze il segnale viene infine filtrato da un passa-basso a 22 kHz.

Una volta rilevato con questa procedura il rumore di quantizzazione (a dire il vero ciò che si misura non è il rumore di quantizzazione in senso stretto, in quanto durante il processo di conversione a quest’ultimo si somma anche il rumore generato dagli stadi d’uscita e quello di riquantizzazione del filtro sovracampionatore, che comunque contribuiscono anch’essi a diminuire la risoluzione effettiva del CD-player) e quindi calcolato il relativo rapporto segnale/rumore, si può ricavare il dato di risoluzione effettiva, espresso in bit, rovesciando la relazione matematica di prima in modo opportuno:

N_{eff} = \cfrac {S / R_Q - 1,76}{6,02}

Naturalmente la stessa procedura può essere adattata anche per misurare la risoluzione di un’unità di conversione D/A in grado di accettare al suo ingresso segnali digitali fino a N bit: in questo caso il segnale prova dev’essere anch’esso a N bit e dovrà essere fornito da un generatore digitale di precisione. Lo schema rimane quindi valido anche in questo caso, anche se invece dei “blocchi” CD-test e riproduttore CD si devono considerare rispettivamente il generatore digitale ad N bit e l’unità di conversione D/A: naturalmente, in questo caso non c’è il “collo di bottiglia” rappresentato dal supporto CD e quindi il massimo valore di risoluzione effettiva è limitato soltanto dalle caratteristiche dei circuiti di conversione o dalla lunghezza di parola del segnale digitale utilizzato come test. Il “collo di bottiglia”, naturalmente, non c’è neanche nel caso si misuri un lettore ad alta risoluzione dell’ultima generazione, in quanto la sua risoluzione effettiva è comunque grandemente inferiore a quella del supporto.

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21 01 2015
guida modifica risoluzione schermo – DOMUSTATION | come-aumentare

[…] APPROFONDIMENTO SULLA “”RISOLUZIONE EFFETTIVA”” DI UN […]

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